NILAI TENDENSI PUSAT
DAN LETAK DATA
Irfan
Pengertian
- Statistik deskriptif sebagai bagian dari statistik yang bertujuan untuk membuat data lebih bermakna dan dapat diinterpretasikan oleh orang-orang yang berkepentingan dengan data tersebut.
- Salah satu bagian dalam statistik deskriptif adalah menyajikan data dengan menggunakan ukuran pemusatan data (tendensi pusat) khususnya untuk data-data yang berbentuk numerik.
Pengertian
- Nilai tendensi pusat adalah nilai tunggal yang menggambarkan keseluruhan data atau pengamatan dan merupakan nilai tengah dari kumpulan data tersebut.
- Pendekatan ini memberikan manfaat antara lain :
- Menggambarkan sejumlah data dalam satu nilai tertentu sehingga lebih mudah untuk di interpretasikan.
- Perbandingan dari sekelompok obyek dengan membangun nilai nomal atau standar dari obyek tersebut. Contohnya anda ingin membandingkan mobilitas dari sekelompok pasien dengan hip replacement dengan mobilitas normal atau rata-rata mobilitas dari sekelompok orang dengan usia tertentu yang tidak memiliki masalah pada sendi hipnya.
- Membangun suatu standar atau nilai normal yang sebelumnya tidak diketahui. Contohnya jika ada alat latihan tertentu yang bermanfaat bagi pasien stroke, maka anda perlu tahu standar nilai alat tersebut pada orang yang tidak dengan stroke. Sehingga akan menjadi masukan untuk diterapkan pada pasien dengan stroke.
Rata-rata hitung (Mean)
- Rata-rata hitung adalah nilai rata-rata dari kumpulan suatu data. Rata-rata hitung dari suatu populasi diberi simbol (baca miu) sedangkan rata-rata hitung dari sampel diberi simbol X (baca eks bar).
- Untuk mengetahui nilai rata-rata hitung dari suatu data maka data tersebut dapat diklasifikasikan dalam bentuk data tunggal atau data berkelompok.
- Mean untuk data tunggal
- Untuk mencari nilai rata-rata hitung (mean) untuk data tunggal adalah sebagai berikut :
- Jika suatu kumpulan data X1, X2, X3, X4, X5, ... Xn merupakan n buah nilai dari variabel X, maka rata-rata hitungnya adalah,
dimana;
X : rata-rata hitung (mean)
X : wakil data
n : jumlah data
Contoh :
- Pada hasil pengukuran berat badan 10 mahasiswa didapatkan nilai (kg) 55, 52, 49, 54, 53, 60, 48, 57, 62, 56, maka nilai rata-rata hitungnya adalah :
Contoh :
- Pada suatu hasil ujian biostatistik ditemukan 2 orang mendapat nilai 65, 7 orang mendapat nilai 70 dan 1 orang dengan nilai 80.
- Maka nilai rata-rata hitungnya adalah :
Contoh :
- Suatu hasil pengukuran lingkup gerak (range of motion) sendi bahu terhadap 40 pasien di unit orthopedi RS X didapatkan data sebagai berikut:
Dari data tabel diatas, maka nilai rata-rata hitung dari 40 pasien tersebut adalah :
- Untuk mencari nilai rata-rata hitung dari suatu data kelompok, dapat digunakan dengan cara menggunakan rumus transformasi.
- Transformasi dilakukan dengan cara memindahkan titik asal 0 ke titik asal yang baru, yang berhimpit dengan nilai X = 143 dan kemudian kita mengubah kesatuan sehingga diperoleh transformasi linier, yaitu X = 143 + 9U, dimana X adalah nilai tengah kelas, 143 adalah nilai tengah dari kelas paling tengah, 9 adalah lebar kelas, dan U adalah nilai-nilai 0, ą 1, ą 2, ... dan seterusnya. Karena X = 143 + 9U, maka dapat ditunjukkan bahwa nilai rata-rata hitung adalah 143 +9U.
- Secara umum nilai rata-rata hitung dapat diperoleh dengan rumus berikut :
- Dengan menggunakan rumus tersebut, maka contoh soal diatas dapat diselesaikan dengan cara berikut ini :
- Median (Nilai Tengah)
- Dari suatu distribusi data, maka salah satu pemusatan data selain nilai rata-rata hitung adalah nilai tengah atau disebut juga Median.
- Median adalah nilai tengah dari suatu distribusi data setelah data tersebut diurutkan dari nilai paling kecil ke nilai paling besar atau sebaliknya.
- Median (biasa disingkat Med) sebagai nilai paling tengah dari suatu distribusi data jika jumlah data ganjil atau rata-rata dari dua nilai tengah jika banyaknya data genap.
Contoh
- Dari suatu distribusi data sebagai berikut :
2, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 13
- Dari data diatas didapatkan n = 15, maka nilai tengah adalah nilai yang berada pada nilai urut ke 9 yaitu nilai 8. ditulis Med = 8
- Pada data kelompok yang dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, nilai tengah (median) dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut ini :
Dimana :
Med = median
Bb = batas bawah kelas median
j = lebar kelas
n = bayaknya data
F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas
yang mengandung median
f = frekuensi kelas median
Contoh :
- Dari hasil suatu pengukuran tekanan darah sistole pada 40 pasien, maka didapatkan data sebagai berikut :
Penyelesaian :
- Langkah I : Tentukan terlebih dahulu letak median pada kelas interval keberapa dari distribusi frekuensi tersebut diatas, yaitu nilai median terletak pada nilai ke- n/2 = nilai ke- 40/2 = nilai ke- 20, maka letak nilai median berada pada kelas interval 139 – 147.
- Langkah II : Tentukan nilai-nilai yang dibutuhkan sesuai rumus median untuk data kelompok, yaitu :
- Nilai batas bawah kelas median (Bb) = 138,5
- Frekuensi kelas median (f) = 12
- Jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas yang mengandung nilai median (F) = 4 + 5 + 8 = 17
- Lebar kelas (j) =147,5 -138,5 = 9
- Jumlah data (n) = 40
- Maka, nilai median adalah :
- Pada dasarnya median saja tidak akan memberikan informasi yang cukup mengenai keaslian data.
- Jika nilai median digunakan dalam hubungannya dengan nilai mean, maka akan didapatkan informasi yang lebih baik mengenai sekelompok data tertentu.
- Contohnya jika nilai mean hampir sama dengan nilai median maka hal tersebut menunjukkan bahwa range distribusi data tersebut kecil atau dengan kata lain ada kemungkinan bahwa nilai maksimal dan nilai minimal tidak berjauhan.
- Sebaliknya jika nilai mean dan median berjauhan maka berarti range distribusi data tersebut juga besar.
Modus
- Pada suatu kumpulan data, maka sering dijumpai data yang paling dominan yang menunjukkan gejala yang paling sering terjadi.
- Untuk menyatakan gejala tersebut dapat digunakan nilai tendensi pusat berupa nilai modus.
- Dalam aktivitas sehari-hari atau dalam percakapan, kita sering menyatakan sesuatu yang menunjukkan nilai tendensi pusat yang bersifat kualitatif.
- Peryataan-pernyataan seperti : “Rudi jarang memeriksakan diri kedokter” atau pernyataan “Penyebab orang sakit stroke karena tekanan darah tinggi” adalah pernyataan yang menunjukkan nilai modus. Kata “jarang” dan “kerana tekanan datar tinggi”
- Pada data kuantitatif, modus merupakan data yang mempunyai frekuensi yang paling besar.
- Pada penentuan nilai modus, data tidak harus diurutkan seperti halnya pada penentuan nilai median, akan tetapi jika data telah diurut maka akan lebih mempermudah dalam menentukan nilai modusnya.
- Biasanya modus disingkat Mod.
Contoh :
- Pada data yang tidak berkelompok.
1. Data : 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9 . Mod = 6
2. Data : 1, 2, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mod = 5 , dan Mod = 9
3. Data : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Tidak mempunyai modus
4. Data : 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 Tidak mempunyai modus
- Jika data yang diperoleh merupakan data kelompok dalam tabel distribusi frekuensi, maka modusnya dihitung dengan rumus berikut.
Contoh :
- Dari hasil suatu pengukuran tekanan darah sistole pada 40 pasien, maka didapatkan data sebagai berikut :
- Penyelesaian :
- Langkah I
- Tentukan kelas interval mana yang mengandung nilai modus dari distribusi frekuensi tersebut diatas, yaitu pada kelas interval dengan frekuensi terbesar. Pada tabel distribusi frekuensi tersebut diatas adalah kelas interval 139 – 147 dengan frekuensi (f) = 12.
- Langkah II : Tentukan nilai-nilai sebagaimana yang telah ditetapkan dalam rumus modus untuk data kelompok, yaitu
- Bb = 138,5 j = 9 b1 = 12-8 = 4 dan b2 = 12-5 = 7
- Langkah III : Masukkan nilai-nilai tersebut kedalam rumus yang telah ditetapkan dan lakukan perhitungan, maka nilai modusnya adalah :
Dalam pemahaman tentang nilai tendensi pusat mean, median dan modus akan memberikan gambaran deskriptif data tentang kesimetrisan kurva suatu distribusi data.
- Pertama : Kurva data berbentuk simetris atau mendekati simetris, jika nilai mean, median dan mudus dari suatu kumpulan data sama atau mendekati sama.
- Kedua : Kurva data miring atau menceng kekanan, jika nilai modus lebih kecil dari median dan median lebih kecil dari mean.
- Ketiga : Kurva data miring atau menceng ke kiri, jika mean lebih kecil dari median dan nilai median lebih kecil dari modus.
- Nilai mean, median dan modus memiliki keterkaitan satu sama lain jika distribusi datanya tidak membentuk kurva yang simetris yaitu menghasilkan persamaan sebagai berikut :
BAGIAN I Statistik Deskriptif
Pengertian dan Penggunaan Statistika
Jenis-jenis Statistika
Jenis-jenis Variabel
Sumber Data Statistika
Skala Pengukuran
Beberapa Alat Bantu Belajar
Alat Bantu Program Statistika dengan Komputer
Pengertian Statistika
Penyajian Data
Ukuran Penyebaran
Ukuran Pemusatan
Angka Indeks
Deret Berkala dan
Peramalan
2
Ilmu mengumpulkan, menata, menyajikan, menganalisis, dan menginterprestasikan data menjadi informasi untuk membantu pengambilan keputusan yang efektif.
Suatu kumpulan angka yang tersusun lebih dari satu angka.
DEFINISI
Biostatistika yaitu penerapan metode statistika dalam memecahkan permasalahan dalam bidang biologi
- Mencari deskripsi suatu variable
- Mencari hubungan antar variable
- Menentukan perbedaan respon akibat perlakuan yang diberikan
Statistik diperlukan sbg alat utk membantu memecahkan berbagai masalah melalui penelitian
Penelitian = penyelidikan/pencarian yg sistematik thd kebenaran yg blm terungkap (Leedy, 1974)
3
Ciri-ciri penelitian :
- dimulai dg adanya pertanyaan
- membutuhkan pernyataan yg jelas
- membutuhkan perencanaan
- dilakukan secara bertahap
- mengajukan hipotesis
- mengemukaan fakta dan makna dg benar
- bersifat sirkuler
4
Dalam melakukan suatu penelitian harus dilandasi dengan penggunaan metode ilmiah
Syarat metode ilmiah:
- Dasar : - fakta/data yg reliable, valid, ternilai
- teori yg relevan
- Sifat : universal, obyektif. Jujur dan terbuka. Logis, kritis, analistis, dinamis dan inovatif
5
Data kasar (raw data) diperoleh dari hasil pengukuran suatu variable pada sample yg diambil dari suatu populasi menggunakan teknik pengambilan sample tertentu
Langkah-langkah kegiatan statistika utk menangani data kasar :
- Pengumpulan data
- Pengolahan data (diurutkan atau digolongkan)
- Penyajian data dalam tabel atau grafik
- Penafsiran sajian data
- Analisa data
- Penafsiran dan pengambilan kesimpulan
- Pemanfaat penafsiran dan kesimpulan utk penentuan kegiatan penelitian lbih lanjut
-
Poin 1,2,3,4,7 disebut statistik deskriptif (tanpa analisis, tanpa generalisasi, tanpa pengujian hipotesis, dan hanya melakukan perhitungan-perhitungan saja) Disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi (mean, modus, median), bar-diagram, histogram, polygon, dll
Poin 1,2,3,4,5,6,7 disebut statistik inferensial (dg analisis, generalisasi, pengujian hipotesis)
Uji t,z, F
7
8
JENIS-JENIS STATISTIKA
STATISTIKA
Statistika Deskriptif
Statistika Induktif
Materi:
- Penyajian data
- Ukuran pemusatan
- Ukuran penyebaran
- Angka indeks
- Deret berkala dan peramalan
Materi:
- Probabilitas dan teori keputusan
- Metode sampling
- Teori pendugaan
- Pengujian hipotesa
- Regresi dan korelasi
- Statistika nonparametrik
DATA
- Himpunan nilai/variate/datum atau informasi lain yg diperoleh dari observasi, pengukuran dan penilaian) thd suatu obyek atau lebih
- Obyek pengamatan variable variate/nilai
- Data kualitatif = diperoleh dari hasil pengamatan
- Data kuantitatif = diperoleh dari kegiatan pengukuran atau penilaian
9
10
POPULASI DAN SAMPEL
POPULASI
Sebuah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang, benda-benda dan ukuran lain dari objek yang menjadi perhatian.
SAMPEL
Suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian.
11
JENIS-JENIS DATA
DATA
Data Kualitatif
Data Kuantitatif
Data Diskret
Data Kontinu
- Jenis kelamin
- Warna bunga
- Habitat, dll
- Jumlah kloroplas
- Jumlah trombosit
- Jumlah sel, dll
- Berat badan
- Jarak kota
- Luas tanah, dll
Penggolongan data statistik
- Berdasarkan sifat angka :
- Data kontinyu, yaitu data statistic yg angka-angkanya mrpk deretan angka yg sambung-menyambung, ex; data BB (kg): 40.3, 40.9, 50 dst
- Data diskrit, yaitu data statistic yg tidak mgk berbentuk pecahan, ex; data jml buku perpust (buah): 50,125,350, 275 dst
12
- Berdasarkan cara menyusun angkanya :
- Data nominal, yaitu data statistic yg cara menyusunnya didasarkan pada klasifikasi tertentu, ex; Jml mahasiswa PBiologi 2009/2010 menurut tingkat dan jenis kelaminnya
- Data ordinal/urutan, yaitu data statistic yg cara menyusun angkanya didasarkan pada urutan/ranking,
Ex: Hasil nilai statistik berdasarkan ranking
- Data interval, yaitu data statistic dimana terdapat jarak yg sama di antara hal-hal yg sdg diteliti
13
Berdasarkan bentuk angkanya :
- Data tunggal, yaitu data statistic yg angka-angkanya mrpk satu unit atau satu kesatuan, tdk dikelompokkan
- Data kelompok, yaitu data statistic tiap unitnya terdiri dari sekelompok angka, ex; 80 – 84, 75 – 79
Berdasarkan waktu pengumpulannya :
- Data seketika, yaitu data statistic yg mencerminkan keadaan pada suatu waktu saja, ex : pada semester gasal 2009/2010
- Data urutan waktu, yaitu data statistic yg mencerminkan keadaan dari waktu ke waktu secara berurutan, ex jumlah mahasiswa yg lulus dari tahun 1996 - 2006
14
15
SUMBER DATA STATISTIKA
DATA
Data Primer
- Wawancara langsung
- Wawancara tidak langsung
- Pengisian kuisioner
Data Sekunder
Data dari pihak lain:
- BPS
- Bank Indonesia
- World Bank, IMF
- FAO dll
Istilah dalam statistika
- Obyek = benda hidup atau mati yg diuji unsur-unsur, sifat dan kelakuannya melalui pengamatan, pengukuran dan penilaian guna mendpt info atau nilai-nilai yg berguna mengenai benda tsb
Suatu sifat dari obyek atau unsur dari obyek yg dpt diamati atau diukur shg menghasilkan nilai, ukuran atau criteria lain yg dpt bervariasi
Angka/nilai ukuran/criteria lain yg dicapai suatu variabel pada suatu individu atau unit statistic
16
Adanya perbedaan antar nilai/variate/ukuran dll dari suatu variabel pada populasi atau sampel
Kemungkinan utk bervariasi dr nilai suatu variable pd suatu populasi atau sample
suatu variabel terukur yg digunakan sbg criteria utk mengevaluasi suatu populasi atau sistem
17
suatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dari perhitungan atau data sensus, masih harus di analisis.
suatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dari perhitungan atau data sensus.
18
Statistika Parametrik:
- Membutuhkan pengukuran kuantitatif dengan data interval atau rasio
- mempertimbangkan jenis sebaran/distribusi data, yaitu apakah data menyebar normal atau tidak.
- Contoh metode statistika parametrik: uji-z (1 atau 2 sampel), uji-t (1 atau 2 sampel), korelasi pearson, Perancangan Percobaan (1 or 2-way ANOVA parametrik), dll.
Statistika Nonparametrik
- Membutuhkan data dengan data ordinal dan nominal
- Merupakan statistika bebas sebaran (tdk mensyaratkan bentuk sebaran parameter populasi, baik normal atau tidak).
- Contoh metode Statistika non-parametrik:Binomial test, Chi-square test, Median test, Friedman Test, dll.
20
DISTRIBUSI FREKUENSI
DEFINISI
Pengelompokkan data menjadi tabulasi data dengan memakai kelas-kelas data dan dikaitkan dengan masing-masing frekuensinya
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN
Dapat mengetahui gambaran secara menyeluruh
Rincian atau informasi awal menjadi hilang
CONTOH
Tinggi Badan
Frekuensi
151-153
154-156
157-159
160-162
163-165
166-168
169-171
172-174
3
7
12
18
27
17
11
5
Distribusi Frekuensi Tinggi Badan 100 Mahasiswa UNS
Sumber: Data buatan
LIMIT, BATAS, NILAI TENGAH, DAN LEBAR KELAS
Nilai terkecil/terbesar pada setiap kelas
Nilai yang besarnya satu desimal lebih sedikit dari data aslinya
Nilai tengah antara batas bawah kelas dengan batas atas kelas
Selisih antara batas bawah kelas dengan batas atas kelas
CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI
- Tentukan Range atau jangkauan data (r)
- Tentukan banyak kelas (k)
CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI (lanjutan)
- Tentukan limit bawah kelas pertama dan kemudian batas bawah kelasnya
- Tambah batas bawah kelas pertama dengan lebar kelas untuk memperoleh batas atas kelas
- Tentukan limit atas kelas
- Tentukan nilai tengah kelas
- Tentukan frekuensi
CONTOH
Data hasil ujian akhir Mata Kuliah Statistika dari 60 orang mahasiswa
23
60
79
32
57
74
52
70
82
36
80
77
81
95
41
65
92
85
55
76
52
10
64
75
78
25
80
98
81
67
41
71
83
54
64
72
88
62
74
43
60
78
89
76
84
48
84
90
15
79
34
67
17
82
69
74
63
80
85
61
JAWAB
- Data terkecil = 10 dan Data terbesar = 98
Jadi jangkauannya adalah sebesar 88
- Banyak kelas (k) = 1 + 3,3 log 60 = 6,8
Jadi banyak kelas adalah sebanyak 7 kelas
- Lebar kelas (c) = 88 / 7 = 12,5 mendekati 13
- Limit bawah kelas pertama adalah 10, dibuat beberapa alternatif limit bawah kelas yaitu 10, 9, dan 8
Maka batas bawah kelas-nya adalah 9,5 ; 8,5 ; dan 7,5
JAWAB (lanjutan)
- Batas atas kelas pertama adalah batas bawah kelas ditambah lebar kelas, yaitu sebesar
- Limit atas kelas pertama adalah sebesar
JAWAB (lanjutan)
Alternatif 1
Alternatif 2
Alternatif 3
8-20
21-33
34-46
47-59
60-72
73-85
86-98
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
10-22
23-35
36-48
49-61
62-74
75-87
88-100
Misal dipilih Alternatif 2
JAWAB (lanjutan)
- Nilai tengah kelas adalah
- Frekuensi kelas pertama adalah 3
JAWAB (lanjutan)
Interval Kelas
Batas Kelas
Nilai Tengah
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
8,5-21,5
21,5-34,5
34,5-47,5
47,5-60,5
60,5-73,5
73,5-86,5
86,5-99,5
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
Jumlah
60
Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika
DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF DAN KUMULATIF
- Distribusi frekuensi relatif
Membandingkan frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi total dikalikan 100 %
- Distribusi frekuensi kumulatif ada 2, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari
DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF
Interval Kelas
Batas Kelas
Nilai Tengah
Frekuensi
Frekuensi Relatif (%)
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
8,5-21,5
21,5-34,5
34,5-47,5
47,5-60,5
60,5-73,5
73,5-86,5
86,5-99,5
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
5
6,67
6,67
13,33
20
38,33
10
Jumlah
60
100
Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika
DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF KURANG DARI
Interval Kelas
Batas Kelas
Frekuensi Kumulatif Kurang Dari
Persen Kumulatif
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
kurang dari 8,5
kurang dari 21,5
kurang dari 34,5
kurang dari 47,5
kurang dari 60,5
kurang dari 73,5
kurang dari 86,5
kurang dari 99,5
0
3
7
11
19
31
54
60
0
5
11,67
18,34
31,67
51,67
90
100
Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Untuk Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika
DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF LEBIH DARI
Interval Kelas
Batas Kelas
Frekuensi Kumulatif Lebih Dari
Persen Kumulatif
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
lebih dari 8,5
lebih dari 21,5
lebih dari 34,5
lebih dari 47,5
lebih dari 60,5
lebih dari 73,5
lebih dari 86,5
lebih dari 99,5
60
57
53
49
41
29
6
0
100
95
88,33
81,66
68,33
48,33
10
0
Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari Untuk Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika
HISTOGRAM DAN POLIGON FREKUENSI
0
5
10
15
20
25
Frekuensi
8,5
21,5
34,5
47,5
60,5
73,5
86,5
99,5
3
4
4
8
12
23
6
Nilai
Histogram
Poligon Frekuensi
Histogram dan Poligon Frekuensi Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika
OGIF
0
10
20
30
40
50
Frekuensi Kumulatif
8,5
21,5
34,5
47,5
60,5
73,5
86,5
99,5
3
7
11
19
31
54
6
Nilai
60
Ogif Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Untuk Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika
60
OGIF (lanjutan)
0
10
20
30
40
50
Frekuensi Kumulatif
8,5
21,5
34,5
47,5
60,5
73,5
86,5
99,5
60
57
53
49
41
29
6
Nilai
60
Ogif Frekuensi Kumulatif Lebih Dari Untuk Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika
OGIF (lanjutan)
0
10
20
30
40
50
Frekuensi Kumulatif
8,5
21,5
34,5
47,5
60,5
73,5
86,5
99,5
Nilai
60
Ogif Frekuensi Kumulatif Dari Untuk Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika
kurva ogif kurang dari
kurva ogif lebih dari
UKURAN PEMUSATAN DAN LETAK DATA
UKURAN PEMUSATAN
Merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat data.
Yang termasuk ukuran pemusatan :
- Rata-rata hitung
- Median
- Modus
- Rata-rata ukur
- Rata-rata harmonis
1. RATA-RATA HITUNG
Rumus umumnya :
- Untuk data yang tidak mengulang
- Untuk data yang mengulang dengan frekuensi tertentu
RATA-RATA HITUNG (lanjutan)
1. Dalam Tabel Distribusi Frekuensi
Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
fX
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
45
112
164
432
804
1840
558
Σf = 60
ΣfX = 3955
RATA-RATA HITUNG (lanjutan)
2. Dengan Memakai Kode (U)
Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
U
Frekuensi
fU
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
-3
-2
-1
0
1
2
3
3
4
4
8
12
23
6
-9
-8
-4
0
12
46
18
Σf = 60
ΣfU = 55
RATA-RATA HITUNG (lanjutan)
3. Dengan pembobotan
Masing-masing data diberi bobot.
Misal A memperoleh nilai 65 untuk tugas, 76 untuk mid dan 70 untuk ujian akhir.
Bila nilai tugas diberi bobot 2, Mid 3 dan Ujian Akhir 4, maka rata-rata hitungnya adalah :
2. MEDIAN
Untuk data berkelompok
MEDIAN (lanjutan)
Letak median ada pada data ke 30, yaitu pada interval 61-73, sehingga :
Interval Kelas
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60
3. MODUS
Untuk data berkelompok
MODUS (lanjutan)
Data yang paling sering muncul adalah pada interval 74-86, sehingga :
Interval Kelas
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data :
- Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri.
- Jika Mod
- Jika rata-rata hitung
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS (lanjutan)
Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat hubungan :
Rata-rata hitung-Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)
4. RATA-RATA UKUR
Digunakan apabila nilai data satu dengan yang lain berkelipatan.
Untuk data tidak berkelompok
Untuk data berkelompok
RATA-RATA UKUR (lanjutan)
Contoh :
Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
log X
f log X
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
1,18
1,45
1,61
1,73
1,83
1,90
1,97
3,54
5,8
6,44
13,84
21,96
43,7
11,82
Σf = 60
Σf log X = 107,1
5. RATA-RATA HARMONIS
Biasanya digunakan apabila data dalam bentuk pecahan atau desimal.
Untuk data tidak berkelompok
Untuk data berkelompok
RATA-RATA HARMONIS (lanjutan)
Contoh :
Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
f / X
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
0,2
0,143
0,098
0,148
0,179
0,288
0,065
Σf = 60
Σf / X = 1,121
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL
1. Kuartil
Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar.
Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q1) atau kuartil bawah, kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas.
KUARTIL (lanjutan)
Untuk data tidak berkelompok
L0 = batas bawah kelas kuartil
F = jumlah frekuensi semua
kelas sebelum kelas kuartil Qi
f = frekuensi kelas kuartil Qi
KUARTIL (lanjutan)
Q1 membagi data menjadi 25 %
Q2 membagi data menjadi 50 %
Q3 membagi data menjadi 75 %
Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60
KUARTIL (lanjutan)
Untuk Q1, maka :
Untuk Q2, maka :
Untuk Q3, maka :
KUARTIL, DESIL, PERSENTIL (lanjutan)
2. Desil
Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar.
DESIL (lanjutan)
Untuk data tidak berkelompok
L0 = batas bawah kelas desil Di
F = jumlah frekuensi semua
kelas sebelum kelas desil Di
f = frekuensi kelas desil Di
DESIL (lanjutan)
Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60
PENDAHULUAN Statistika bukan sesuatu yang asing bagi mahasiswa, di Sekolah Tingkat Menengah anda pernah mempelajarinya, meskipun dalam kadar yang relative rendah. Demikian pila kata Statistik, lebih popular lagi bagi anda sebab hampir di setiap kantor ada kata statistic, misalnya statistik penduduk desa,statistic tenaga kerja, statistic pendidikan dan sebagainya. Bahkan mungkin sekali anda telah merasa mengerti dan memahami apa arti kata statistika. Statistika bukan saja berurusan table-tabel angka dan sekitar kompilasi beraneka macam grafik dengan gaya mutahir.
Statistika adalah sekumpulan konsep dan metode yang digunakan untuk mengumpulkan data, menyajikan data,analisis data dan menginterpretasikan data tentang bidang tertentu dan mengambil kesimpulan dalam situasi dimana ada ketidakpastian dan variasi.
Menurut sejarah kata statistika diambil dari bahasa latin, Status yang berarti Negara. Untuk beberapa decade statistic semata-mata hanya dikaitkan denagn penyajian angka-angka tentang situasi perekonomian, kependudukan dan politik yang terjadi di suatu Negara. Statistik dalam perkembangannya telah membuat lompatan yang jauh lebih maju daripada hanya sekitar kompilasi grafik-grafik dan table-tabel angka. Sebagai suatu disiplen ilmu saat ini statistika meliputi berbagai metode dan konsep yang sangat penting dalam semua penelitian yang melibatkan pengumpulan data dengan cara eksperimental dan observasi dan mengambil inferensi atau kesimpulan dengan jalan menganalisis data.
Statistika terdiri dari seni dan ilmu tentang pengumpulan penyajian, analisis dan interprestasi data maupun mengambil kesimpulan (generalisasi) yang masuk akal sehubungan dengan fenomena yang dipelajari/diselidiki. Statistika mempunyai peranan yang sangat penting dalam langkah-langkah pokok metode ilmiah pad atingkat pengumpulan informasi misalnya statistika memberi petunjuk kepada para peneliti bagaimana cara yang wajar dan baik untuk mengumpulan data yang informative termasuk penentuan macam dan banyak data/sample sedemikian hingga kesimpulan yang ditarik dari analisis data dapat dinyatakan denagn tingkat ketepatan (presisi) yang diinginkan.
Setelah data terkumpul masih banyak lagi metode meringkaskan informasi yang terkandung di dalam data, memusatkan perhatian pada segi-segi pokok saja serta mengabaikan hal-hal yang peluangnya kecil dan kurang penting.Statistik yang mempelajari metode meringkas dan menggambarkan segi-segi yang sangat penting dari data disebut Statistika Diskretf.
Statistika Diskretif, terdiri dari metode-metode yang berkaitan denagn pengumpulan dan penyajian suatu data sehingga dapat menghasilkan suatu informasi yang memiliki arti, serta dalam menarik kesimpulan atau pendugan belum menerapkan teori peluang.
Tujuan utama statistika saat ini adalah mengevaluasi informasi yang terkandung dalam data dan menaksirkan tentang pengetahuan baru yang diperoleh dari informasi tersebut. Bagian ini kita kenal sebagai Statistika Inferensial, dan metode-metode yang berkaitan denagn bidang ini dikenal sebagai Inferensi Statistika. Penggunaan metode-metode ini kita akan memperoleh dasar penalaran unuk menginterprestasikan fakta-fakta yang diperoleh untuk mengetahui seberapa jauh fakta-fakta ini mendukung atau kontadisi dengan metode denagn model yang dipostulat dan untuk menyarankan atau mungkin menrencanakan penyelidikan-penyelidikan lebih lanjut.
Statistika inferensi terdiri dari metode-metode analisis suatu data sample, sehingga dapat dilakukan pendugaan, peramalan atau inferensi (kesimpulan) berkenaan denagn populasinya.
Perkembangan statistika pada berbagai bidang ilmu cukup pesat mengingat penggunaannya dirasakan sangat membantu dalam melakukan penelitian dari mulai mengumpulkan data, menyajikan data, analisis data dan menyimpulkannya. Pemakaian dan pemahaman Statistika pada berbagai ilmu disesuaikan dengan keperluan bidang ilmu tersebut sehingga muncul spesifikasi statistika seperti statistika Ekonomi, Statistika Managemen dan sebagainya, sedangkan di bidang ilu biologi dan kesehatan muncul istilah Biostatistika.
Kesimpulan berdasarkan fakta melalui pengumpulan dan interprestasi data tidak terbatas pada tugas pekerjaan peneliti professional saja, tetapi meliputi kehari-hari. Semua orang yang berusaha sadar atau tidak memahami hal-hal yang menarik tentang masyarakat, kondisi kehidupan,lingkungan dan masyarakat pada umumnya.
Dalam studi tentang tingkat penganguran, pencemaran lingkungan, pendapatan masyarakat,keefektifan obat dan lain-lain yang menarik tenang prilaku kehidupan masa kini, kita kumpulkan fakta dan data, kemudian menginterprestasikan atau berusaha memahami interprestasi yang dibuat orang.
Laporan-laporan yang didasarkanatas penelaran statistika yang baik dan interprestasi yang cermat akan memberikan kesimpulan-kesimpulan yang bermakna dan informative. Tetapi kerapkali kesalahan penerapan statistika yang disengaja atau kurang hati-hati akan menyebabkan kesimpulan-kesimpulan yang salah dan menyimpang dai kenyataan.
Penalaran statistika memberikan kriterian untuk menentukan kesimpulan-kesimpulan mana yang benar-benar didukung oleh data dan mana yang tidak. Dalam semua bidang ilmu dimana inferensi ditarik dari analisis data, dapat tidaknya dipercaya juga sangat tergantung pada penggunaan metode statistika dalam langlah pengumpulan data. Metode statistika memegang peranan penting dalam Negara demokrasi, misalnya perumusan kebijakan umum dan segala macam perencanaan yang lain dapat lebih responsip terhadap kemampuan rakyat banyak.
SOAL:
- Jelaskan perbedaan kata statistik dengan statistika
- Jelaskan penggunaan statistika dalam penelitian
- jelaskan perbedan antara statistika deskretif denagn statistika inferensial.
Seperti kita ketahui bahwa statistika diterapkan untuk mengumpulkan menyajikan menganalisis dan menginterrestasikan data. Data yang kita kumpulkan dapat bersifat kualitatif maupun kuantitatif statistika khususnya bekerja dangan data kuantitatif atau data kualitatif yang sudah dikuantitatifkan denagn berbagai cara.
Data kuantitatif adalah fakta yangdipresentasikan dengan angka. Misalnya penghasilan keluarga dalam rupiah (Rp),berat sapi dalam Kg, tinggi badan dalam Cm,lama hidup suatu mikroorganisme dalam jam dan sebagainya. Data kualitati adalah fakta yang dinyatakan dalam bentuk sifat (bukan angka). Misalnya jenis babi yaitu babi local babi saddle back,babi landrace,babi duroc dan sebagainya; jenis kandang yaitu kandang induk,kandang pejantan,kandang anak,kandang penggemukan dan sebagainya. Data kualitatif dpat kita kuantitatifkan antara lain denagn cara memberi skor,rangking,variable boneka (dummy variable) dan sebagainya.
Data diukur secara langsung dan tidak sedikit data yang tidak dapat diukur secara langsung. Untuk data yang tidak dapat diukur secara langsung harus kita buat secaraoperasional dapat diukur. Operasionalisasi ini berarti harus diusahakan untuk memecah atau menguraikan pengertian itu dalam sejumlah demensi yang dapat diukur. Misalnya operasionalisasi status social ekonomi masyarakat menjadi demensi pendapatan dan demensi pekerjaan. Dalam mengukur fakta validitas pengukuran harus diusahakan sebaik mungkin. Sebagai contoh apakah daging ayam yang diawetkan denagn suatu zat pengawet masih disenangi oleh konsumen,dapat diukur denagn skala pengukuran sangat disukai, disukai, sedikit suka,suka,biasa saja,sedikit tidak suka,tidak suka dan sangat tidak suka.jika kita mengukur berat kambing maka dapat digunakan timbangan yang sudah punya skala. Demikian juga untuk mengukur suhu tubuh dapat digunakan thermometer yang sudah ada skalanya.
Jadi ada beberapa skala yang dapat digunakan untuk mengukur fakta untuk mendapatkan data sebagai berikut :
- Skala Nominal
Skala nominal adalah pengukuran yang paling rendah tigkatannya ini terjadi apabila bilangan atau lambing lambing lain digunakan untuk mengklasifikasikan obyek,orang,hewan atau benda lain. Apabila bilangan atau lambing-lambang lain digunakan untuk mengidentifikasikan kelompok dimana beberapa obyek dapat dimasukkan kedalamnya maka bilangan atau lambing itu membentuk suatu skala nominal (klasifikasi).
Sebagai contoh misalnya kita menggolongkan ternak dalam himpunan ternak besar, ternak kecil,ternak unggas dan aneka ternak. Dalam hal ini skala untuk mengukur variable ternak terdiri dari empat titik. Titik skala dinamakan kelas atau kategori. Demikian pula pengelompokan suatu kejadian menjadi dua kelompok yang dikenal dengan skala nominal dikotonik dan biasanya diberi lambing himpunan {0,1}. Misalnya kejadian mati dan hidup sembuh dan sakit, tidak berhasil,berhasil,tidak ditemukan dan ditemukan.
- Skala Ordinal (Ranking)
Skala ordinal terjadi bila obyek yang ada dalam satu katagori suatu skala tidak hanya berbeda denagn obyek-obyek itu,tetapi juga mnpunyai hubungan satu dengan yang lain. Huubungan yang ada biasa kita jumpai diantara kelas-kelas adalah : lebih tinggi,lebih disenangi, lebih sering, lebih sulit, lebih dewasa dan sebagainya.
Pengukuran yang dilakukan dalam skala ordinal adalah obyek dibedakan menurut persamaanya dan menurut urutannya. Jadi dapat dibuat urutan atau rangking yang lengkap dan teratur diantar kelas-kelas. Sebagai cotoh kejadian suatu penyakit pada ternak babi dibagi menjadi sering sekali, sering, kadang-kadang, dan tidak pernah. Kejadian ini bisa dikuantitatifkan dengan memberikan lambing himpunan angka-angka {4,3,2,1}.
- Skala Interval.
Pengukuran dalam skala interval lebih kuat dari skala ordinal, sebab pengukuran dicapai selain dengan persamaan dan urutannya juga mengetahui jarak (interval) antar adua kelas.
Skala interval mepunyai cirri unit pengukuran yang dan konstan yang memberikan suatu bilangan (nyata) untuk setiap pasangan obyek-obyek dalam himpunan berurutan itu. Dalam pengukuran semacam ini perbandingan antar ainterval sembarang adalah independent denagn unit pengukuran dan skala interval mempunyai titik nol sembarang.
Sebagai contoh skala interval adalah skala untuk mengkur suhu misalnya skala Celcius dan Fahrenheit. Kedua alat ini mempunyai titik nol dan unit pengukuran yang berbeda. Namun kedua alat ini memberikan informasi yang sama, karena ada hubungan linear antara kedua skala tersebut yaitu temperature dalam skala yang satu dapat ditransformasikan ke skala yang lain dengan rumus transformasi F=9/5 C + 32, F adalah derajat temperature dalam Fahrenheit dan C adalah derajat temperature dalam Celcius, contoh lain adalah semua skala ordinal yang mempunyai titik nol dan unit pengukuran sembarang.
- Skala Rasional
Skala rasional disamping mempuyai sifat seperti skala interval masih juga mempunyai sifat lainyaitu titik nolnya tertentu. Dalam skala rasional perbandingan dua titik skala sembarang adalah independent denagn unit pengukuran.
Contoh skala rasio adalah skala untuk pengukuran panjang, berat,luas isi (volume) dan sebagainya, termasuk pula banyak orang banyak ternak dan sebagainya.
Soal :
- berikan beberapa contoh data kualitatif dn kuantitatif
- berikan beberapa contoh data yang menggunakan skala pengukuran
nominal,ordinal,interval dan rasional
III. LAMBANG HIMPUNAN DATA, NOTASI DAN OPERASINYA.
Untuk menunjukkan urutan angka-angka yang diperoleh dari suatu penelitian tanpa menulis angka-angka tersebut, kerap kali kita tuliskan angk apertama sebagai Y1, angka kedua Y2 dan seterusnya angka ke-n ditulis denagn Yn.
Contoh :
- Jumlah anak babi yang lahir dari 5 ekor induk dari suatu perusahaan datanya sebagai berikut :
| Induk | A | B | C | D | E | Jumlah |
| Jumlah anak | 12 | 11 | 10 | 9 | 13 | 55 |
Jika Yi menunjukkan jumlah naka babi dari induk ke-I maka dapat ditulis
Y1 = 12, Y2=11,Y3 =10, Y 4=9 dan Y5= 13 maka jumlah seluruh anak babi ditulis dengan symbol :
= 12+11+10+9+13 = 55 ekor
Bila induk babi sebanyak n ekor maka jumlah anaknya dapat dilambangkan denagn simbul :
Huruf yakni huruf yunani sigma berarti jumlah dan subsrip i=1
(dibawah sigma) menunjukkan angka pertama dalam urutan angka yang dijumlahkan dan n (diatas sigma) menunjukkan angka terakhir,
Maka rata-rata jumlah anak babi perekor induk dilambangkan dengan `X dan dapat dicari dengan rumus :
`X = = 1/n ( Y1+ Y2+………..+Yn)
jadi rata-rata jumlah anak dari 5 ekor induk contoh diatas adalah
`X = = 1/5 ( Y1+ Y2+Y 3 + Y 4 +Y5)
= 1/5 (55)
=11 ekor
2. Dari 25 ekor sapi Bali jantan mempunyai berat badan (Kg) dan lingkar dada (Cm) datanya sebagai berikut :
| Sapi (i) | berat badan (Kg) (Xi | lingkar dada (Cm) (Yi) |
|
| 1 | 70 | 98 |
| 2 | 80 | 112 |
| 3 | 85 | 108 |
| 4 | 85 | 124 |
| 5 | 90 | 115 |
| 6 | 96 | 113 |
| 7 | 98 | 115 |
| 8 | 110 | 115 |
| 9 | 110 | 122 |
| 10 | 139 | 116 |
| 11 | 130 | 120 |
| 12 | 107 | 100 |
| 13 | 137 | 115 |
| 14 | 149 | 119 |
| 15 | 153 | 121 |
| 16 | 165 | 125 |
| 17 | 115 | 112 |
| 18 | 188 | 120 |
| 19 | 146 | 115 |
| 20 | 128 | 114 |
| 21 | 156 | 117 |
| 22 | 145 | 117 |
| 23 | 144 | 117 |
| 24 | 199 | 137 |
| 25 | 140 | 117 |
| Total | 3165 | 2904 |
| Rata-rata | 126,6 | 116,16 |
Dalam contoh ini berat badan dan lingkar dada sapi Bali jantan ke-I ditulis denagn ( Xi , Yi) untuk sapi ke 1 (sapi nomor 1 ) adalah (X1,Y1 ) = (70,96) untuk sapi ke-2 ((X2,Y2 ) = (80,112) dan seterusnya hingga sapi ke 25 adalah (X25,Y25 ) = (140,117)
Dari contoh no 2 kita dapat menghitung :
- jumlah berat badan (X) sapi bali jantan :
- Jumlah lingkar dada (Y.) sapi Bali
c. Rata –rata berat badan (`X ) sapi Bali jantan
d. Rata-rata lingkar dada (`Y) sapi Bali jantan
= 1/ 25 (2904) = 116,16 Cm
e. jumlah berat badan dan lingkar dada ( X.. + Y.) sapi Bali Jantan
(X.+ Y.) = Σ (Xi+Yi ) = (X1+Y1) + (X2+Y2)+………..+(X25+Y25)
= (70+98)+(80+112)+……..(140+117)
= 6069 (kg + Cm)
f. Xi 2= X1 2 + X2 2+……………..+ X25 2
= 702 + 802 +………….+1402
= 4900 +6400+………….+19600
= 427711 Kg2
g. Yi 2 = Y12 + Y2 2+………..+Y25
= 982 + 1122 +……..+1172
= 9604 + 12544 +…….+13689
= 338714 Cm2
h. X i Yi = X 1 Y1 + X 2Y2 +…………+ X 25 Y25
= (70 x 98) +(80 x 112)+…………..(140 x 117)
= 6860 + 8960 +………….+16380
= 371656 Kg Cm
i. (Xi- `X. )2 = (X1- `X. )2 + (X2- `X. )2 + ………. (X25- `X. )2
= (70 -126.6)2 +(80-126,6)2 +……(140-126,6)2
= 3203,56 + 2171,56 +….+179,56
= 27033 Kg2
3. Seorang saudagar babi membeli pada 3 perusahaan masing-masing sebanyak 4 ekor denagn berat badan sebagai berikut :
Data berat badan (Kg) 12 ekor babi pd a3 perusahaan
| Perusahaan (i) | Babi ( J ) | Total ( Y i) |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 2 3 | 100 130 160 | 120 140 100 | 115 100 150 | 110 150 140 | 445 520 550 |
| Total ( Y.j ) | 390 | 360 | 365 | 400 | 1515 |
Untuk menyatakan berat babi pada perusahaan ke – I pada babi (ulangan) ke-j ditulis dengan Yi j, misalnya babi pada perusahaan ke-1 dan ulangan ke-1 adalah Y11=100 demikian seterusnya Y12 =120…………Y34 =140
Dari tabel diatas berat seluruh babi yang dibeli saudagar tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :
a. Yi = Y1.+ Y2.+Y3.
= 445 + 520 + 550
= 1515 Kg atau
c. = Y11+ Y12+Y13 +Y.14 +Y21 +Y 22+Y23 +Y24+…….+Y34
Disamping itu kita juga bisa mencari :
a. rata-rata berat babi pada perusahaan 1 (`Y1)
`Y 1 = ź Yi j = ź ( Y11+ Y12+Y13+ Y14)
`Y 2. = ź Y2 j = ź ( 520) = 130 Kg
`Y. ... = 1/(3x4).( ) = 1/12(1515) =126,25 Kg
- Dari contoh nomor 2 carilah :
- dari contoh nomor 3 carilah :
3. data tinggi badan pasangan suami istri disuatu RT adalah sebagai berikut :
Pasangan (i) 1 2 3 4 5
Suami (Xi) 170 175 160 160 170
Istri (Yi) 160 165 150 160 165
Hitunglah
a. Xi d. ( Yi - `Y)2
b. Yi e. (Xi - `X.) (Yi - `Y.)
c. (`X.i - `X)2 f. `X.i Yi
IV. DISTRIBUSI FREKUENSI
Semakin banyak data yang diambil atau didapatkan maka semakin mencerminkan populasinya namun data yang terlalu banyak sulit menyajikan dan sulit menginterprestasikan . hal ini dapat dipermudah apabila data itu kita ringkas menjadi distribusi frekuensi atau table frekuensi.
Distribusi frekuensi adalah susunan angka menurut besarnya (kuantitas) yang disebut frekuensi distribusi kuantitatif atau menurut katagorinya (kualitasnya) yang disebut distribusi frekuensi kualitatif (katagori)
- Tentukan banyak interval kelas
Interval kelas yang akankita buat jangan terlalu sedikit supaya tidak banyak informasi yang hilang dan jangan terlalu banyak (tidk efisien) serat diusahakan ganjil (tidak genap). Interval kelas yang paling efisien biasanya antara 5-20 kelas, tergantung pada banyaknya data. Berdasarkan banyaknya data, Struges memberikan formula sebagai berikut : k= 1 +3,322 log n
disini k= banyaknya interval kelas dan n=banyaknya data , misalnya banyaknya data (n=126) maka banyaknya interval kelas yang digunakan adalah k1 +3,322 log 126 =7,98, supaya ganjil dibulatkan menjadi 7 interval kelas.
- Tentukan lebar interval kelas
Lebar interval kelas ditentukan denagn menggunakan rumus :
I= (nilai terbesar-nilai terkecil) = R
Banyaknya interval kelas k
Misalnya data sebanyak (n = 126) data terbesar nilainya 100 dan terkecil 30, maka R=100-30 =70 jadi lebar interval kelasnya adalah I = 70/7 =10
Berdasarkan penetapan banyaknya interval kelas dan lebar interval maka batas setiap kelas bisa dari data terbesar atau terkecil misalnya 30 – 40, 40 – 50, 50 – 60,
60 -70, 70 - 80, 80 - 90, dan 90 - 100
Format data berupa table frekuensi berisikan kolom-kolom nomor urut kelas, interval kelas, nilai tengah kelas dan frekuensi data. Nilai tengah kelas adalah sebuah nilai sebagai wakil dari interval kelas yaitu (batas bawah-batas asat)/2. frekuensi kelas diperoleh denagn membilang banyaknya data yang tergolong kedalam suatu interval kelas. Total seluruh frekuensi kelas harus sama denagn banyaknya data jadi n= nΣ fi bil atidak berarti salah setiap data hanya boleh mesuk kedalam salah satu interval kelas jadi setiap data idak boleh menjadi anggota yan lebih kecil.asal secara konsisten berlaku untuk semua data maka tidak boleh dimasukkan kedalam kelas yang lebih besar untuk data yang lain.
Distribusi frekuensi atau table frekuensi dapat pula dilengkapi denagn kolom-kolom frekuensi komulatif(frekuensi komulatif kurang dari) frekuensi nisbi atau frekuensi persentase. Frekuensi komulatif lebih dari batas atas adalah banyaknya data yang tercakup dalam kisaran mulai dari batas atas sampai batas bawah terkecil.
Frekuensi nisbi (relative) merupakan frekuensi dari setiap kelas yang dinyatakan dalam suatu proporsi dihitung dengan rumus f.n.i = fi/n. apabila dinyatakan dalam presentase maka dikalikan 100 %
Penyusunan distribusi frekuensi yang telah kita bahs hanya merupakan pedoman umum,karena setiap peneliti dapat menentukan ketentuan-ketentuan lain sesuai denagn masalah tujuan dan pengalamannya. Misalnya penentuan interval kelas berat telur ayam yang beratnya berkisar antara 40-70 gram maka biasa digunakanlah lebar interval 5 gram sedangkan nilai suatu mata kuliah biasanya digunakan 5 interval kelas dengan lebar interval tertentu.
Contoh :
Data tambahan berat badan (gram/ekor/hari) sapi Bali jantan sebanyak 100 ekor
51 50 55 30 56 52 55 56 57 58 52 34 38 45 46
45 40 45 38 43 54 45 45 47 47 47 44 43 50 43
55 39 47 47 50 44 43 42 44 44 55 44 46 48 48
50 50 50 49 50 56 56 44 47 47 53 49 54 49 50
49 55 45 50 46 52 34 45 47 55 54 53 54 53 43
37 45 48 56 54 55 58 55 57 40 35 43 44 53 50
50 57 53 57 60 61 65 61 62 63
Langkah-langkah penyususnan frekuensi distribusi dari data diatas dapat dilakukan sebagai berikut :
(1). Tentukan banyaknya interval kelas denagn rumus :
k = 1 + 3,322 log n
k = 1 + 3,322 log 100
k = 1 + 6,644
k=7,644 dibulatkan (ganjil) k= 7
(2) tentukan lebar interval dengan rumus
I = R = 65 – 30 = 35 = 5
k 7 7
(3) susunlah format data berup atabel distribusi frekuensi
Table distribusi frekuensi tambahan berat badan (gram/ekor/hari) 100 ekor sapi Bali jantan
| No | Interval Kelas | Frekuensi Kelas( f i) | Nilai Tengah (Yi) | Frekuensi Nisbi | Frekuensi Komulatif |
| >bb | |
| 1 2 3 4 5 6 7 | 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 | 4 6 20 30 22 12 6 | 32,5 35,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 | 0,04 0,06 0,20 0,30 0,22 0,12 0,06 | 100 96 90 70 40 18 6 | 4 10 30 60 82 94 100 |
| Jumlah | 100 | | 1,00 | | |
Menggambar grafik distribusi frekuensi
Informasi yang terkandung di dalam sebaran frekuensi yang berbentuk table akan lebih mudah dipahami apabila disajikan dalam bentuk gambar grafik distribusi frekuensi
Dalam menggambar grafik suatu distribusi frekuensi interval kelas distribusi kita letakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kita letakkan pada sumbu Y. selanjutnya denagn alas tiap-tiap interval kita buat persegi panjang-persegi panjang dengan tinggi sama dengan frekuensi masing-masing interval itu. Maka diperoleh grafik yang dinamakan histogram sebagai contoh kita gambar grafik histogram distribusi tersebut diatas.
Distribusi frekuensi dapat juga digambar denagn grafik frekuensi polygon. Cara menggambar grafik ini adalah denagn meletakkan interval distribusi frekuensi pada sumbu X dan frekuensinya pada sumbu Y seperti pada menggambar histogram diatas tadi. Selanjutnya kita tentukan titik tengah tiap intervalnya dan dari titik tengah-titik tengah itu kita ukurkan ke atas sejauh frekuensi masing-masing maka diperoleh grafik batang. Apabila ujung-ujung batang yang saling berdekatan dihubungkan denagn garis lurus maka diperoleh grafik frekuensi polygon.
Sebagai contoh kita ambil data diatas.
Distribusi frekuensi dapat pula digambar dengan grafi frekuensi komulatif yang disebut ogive frekuensi lebih dari dan atau kurang dari
Sebagai contoh kita ambil data dar frekuensi distribusi table 1
Penyajian data dalam bentuk gambar grafik di maksudkan unutk menunjukkan cirri-ciri penting dari suatu distribusi frekuensi secara keseluruhan walaupun cara penyajiann itu memberikan informasi yang lebih sdikit dibandingkan table. Namun bentuk grafik biasanya lebihmenarik bagi pembaca.
Penyajian-penyajian grafik yang lain seperti pie chart, pictogram dan sebagainya bisa anda pelajari sendiri.
Penyusunan Distribusi Frekuensi Kualitatif
Cara penyusunan distribusi kuantitatif pada dasarnya sama dengan penyusunan frekuensi distribusi kuantitatif. Pertama-tama harus kita tentukan banyaknya kelas (katagori) yang akan kita gunakan. Banyaknya kelas kit agunakan sangat tergantung dari keadaan data dan juga keinginan /maksud penelitian. Dalam meyusun kelas perlu diperhatikan jangan sampai ada data yang tidak termuat.juga harus dihindari kelas-kelas yang tumpang tindih (overlap).
Contoh
Table distribusi frekuensi data skor warna dari 50 sampel daging ayam broiler
| No | Skor Warna | frekuensi |
| 1 2 3 4 5 | Merah kecoklatan Coklat tua cerah Coklat tua suram Coklat kehijauan Hijau kekuningan | 20 15 10 3 2 |
V. UKURAN PEMUSATAN DATA
Ukuran pemusatan sekumpulan data (distribusi) adalah harga yang kita pandang dapat menggambarkan ringkasan informasi khususnya dalam hal letaknya (lokasinya).
- Rata- rata Hitung
Harga rata-rata hitung atau arithmetric mean (disingkat mean) merupakan ukuran pemusatan yang sudah sangat dikenal dan banyak digunakan dalam kehidupan sehari.
Harga rata-rata hitung didefinisikan sebagai jumlah semua data yang ada dibagi dengan banyaknya data, biasanya diberi lambing `Y.
`Y=(Y1 + Y2 +…………….+Yn)/n=
Sebagai contoh misalnya mempunyai 5 ekor babi dengan berat masing-masing 100,120,110,130 dan 140 kg . maka rata-rata hitung berat babi adalah :
`Y. = 100 + 120 +110 + 130 + 140 = 120 kg
Apabila data dalam distribusi frekuensi maka rumus untuk menghitung rata-rata hitung adalah :
Disini i=1,2, k (k adalah banyaknya interval kelas) fi adalah frekuensi kelas ke-I dan Xi adalah nilai tengah kelas ke- i.
Sebagai contoh kita hitung rata-rata hitung dari table distribusi frekuensi kuantitatif (Table 1)
Y = 4(32,5) + 6(37,5) +……+6(62,5)=4850=48,50 gram/ekor/hari
100 100
- Median
Median sekumpulan data adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah apabila data disusun menurut besarnya. Jika sekumpulan data banyaknya genap maka median adalah rata-rata dua harga yang ditengah-tengah.
Dengan pengertian diatas median sekumpulan data dapat dicarai denagn cara menyusun data menurut besarnya yaitu dari kecil ke besar. Kit aperiksa harga yang ditengah-tenagh urutan tadi dan harga itu adalah median untuk data yang banyaknya ganjil. Jiak banyaknya data genap maka kita ambil dua harga yang ditenagh dan selanjutnya hitung rata-rata dengan demikian diperoleh harga median.
Sebagai contoh misalnya median 7 data yang diurut dari kecil ke besar sebagai berikut ;
No urut : 1 2 3 4 5 6 7
Nilai ; 6 7 11 12 16 17 18
Jadi nilai mediannya (Me) = 12
Untuk mencari nomor lokasi data dirumuskan
nt = n + 1
2
Untuk contoh diatas nomor urutan data yang ditengah-tenagh
nt = 7 + 1 = 4
Apabila data berbentuk distribusi frekuensi mak aunuk mencari median (Me) dapat dilakukan sebagai berikut :
1. cari nomor lokasi tengah denagn rumus nt = n + 1
2
2. tentukan batas bawah interval kelas lokasi median ( Lm)
3. tentukan frekuensi komulatif kurang dari batas bawah interval kelas tersebut kita singkat tbb.
4. cari tambahan frekuensi (d) dengan rumus d = nt – tbb
5. Median (Me) = [ Lm = ( d/fm) (I)1, disini fm adalah frekuensi pada interval kelaslokasi median dan I adalah interval kelas.
Sebagai contoh kita hitung median distribusi frekuensi kuantitatif (table 1) sebagai berikut :
1. nt = 100 + 1 = 50,5
2
2. lokasi median berada pada nomor kelas ke – 4 dengan batas bawah 45
3. Frekuensi komulatif kurang dari batas bawah (<45) yaitu tbb adalah 30
4. d = 50,5 – 30 = 20,5
5. Me = [ 45 = (20.5/30)(5) = 48,42
c. Kuartil, desil dan persentil
jika median adalah harga yang membagi distribusi data menjadi dua bagian yang sama, maka kuarti (K) adalah harga yang membagi distribusi data menjadi 4 bagian yang sama, sehingga terdapat tiga harga kuartil I,II, dan III. Kuartil II berimpit/ sama dengan menghitung median, kuartil I dan III adalah mediab dari bsgian data pertama dan kedua setelah median seluruh ditentukan.
Desil (D) adalah harga-harga yang membagi data menjadi 10 bagian maka ada 9 harga desil.
Letak/harga desil yang ke 5 sama dengan median prinsip cara harga desil yang lain menghitungnya sama dengan menghitung median.
Persentil (P) adalah harga-harga yang membagi distribusi data menjadi 100 bagian maka ada 99 harga persentil.
Nilai D2 berimpit/sama dengan P20 nilai tersebut menunjukkan bahwa data yang lebih kecil dari D2 atau P20 sebanyak 2/10 atau 20/100 yaitu 20 %
Nilai tengah kisaran (NTK) dapat dihitung denagn rumus
NTK = P25 + P75 = KI + KIII
2 2
d. Modus
Modus adalah data yang paling sering muncul atau data yang frekuensinya tertinggi.
Sebagai contoh misalnya data berat 10 orang bayi yang baru lahir pada suatu rumah sakit adalah sebagai berikut
| No. bayi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Berat (kg) | 4,0 | 3,5 | 4,0 | 5,5 | 3,5 | 4,0 | 4,5 | 3,5 | 4,5 | 4,0 |
Modusnya = 4 kg
Modus pad atabel distribusi frekuensi (table 1) adalah 47,5
e. Nilai tengah Geometrik
nilai tengah geometric atau geometric mean digunakan untuk data yang cenderung meningkat secara deret ukur ( geometric) atau data yang berkaitan denagn waktu dan mempunyai gambar grafik berbentuk fungsi eksponensial. Contoh jumlah bakteri pada daging selama kurun waktu tertentu pertumbuhan ternak selama tumbuh cepat (sebelum dewasa kelamin)
peningkatan secara deret ukur dalam kurun waktu tertentu atau bisa juga akibat diberikan perlakuan tertentu dapat denagn mudah dilihat data yang satu merupakan kelipatan tertentu dari data yang lainnya.
Dalam keadaan data seperti ini rat-rata hitung kurang cocok atau memberikan informasi kurang berguna maka untuk memperoleh informasi yang lebih cocok atau berguna digunakan rata-rata geometric denagn rumus sebagai berikut
n____________________
G= √ (Y1)(Y2)(Y3)………(Yn)
Contoh jumlah bakteri pada daging ayam per gram selama 4 hari penyimpanan adalah sebagai berikut
Hari ke I 0 1 2 3 4
Jmlh bakteri(Yi) 106 108 1010 1013 1014
Maka nilai rata-rata geometric jumlah bakteri daging ayam selama 4 hari penyimpanan adalah :
G =
G = 1010,2 per gram daging ayam
Cara lain untuk menghitung rata-rata geometric adalah denagn melakukan transformasi data denagn logaritma )log)
Jumlah bakteri ( Yi) 106 108 1010 1013 1014
Log Yi 6 8 10 13 14
Rata-rata log Yi= 6 +9+10+13+14 =51 =10,2
Hasil ini dapat memberikan informasi yang lebih berguna, karena rata-rata geometric menunjukkan bahwa rata-rata jumlah bakteri pada hari ke 2 dan juga merupakan median dari data tersebut.
f.Nilai tengah Harmonik
nilai tengah harmonic merupakan kebalikkan nilai-nilai data dihitung denagn rumus.
H = n = n
1 + 1 +……………….. 1 nΣ 1
Y1 Y2 Yn i=1 Yi
Contoh seorang petni membelanjakan uangnya Rp. 5.000,- untuk membeli 10 ekor ayam (@ Rp 5.00,-perekor) dan uangnya yang Rp 5.000 lagi untuk membeli 5 ekor ayam yang lebih besar ukuran tubuhnya (@ rp 1000,-perekor) maka harga rata-rata seekor ayam adalah ;
H= 2 = 2/3 = 666,67 Rp/ekor
1 + 1 3
500 1000 1000
Jadi harga perekor ayam untuk Rp 10.000,- uang yang dibelanjakan untuk mebeli 15 ekor ayam adalah Rp 666,67
Perhitungan diatas dapat juga dikerjakan denagn cara sebagai berikut
H = 10 x 500 + 5 x1000 = 10000 = 666,67 Rp/ekor
10 + 5 15
Data yang mempunyai nilai tengah harmonic sebenarnya merupakan data yang kurang serasi atau harmonis dari seluk beluk satuan data ini dapat diharmoniskan denagn melakukan kebalikkan ( 1/ Yi) karena satuannya yang lebih cocok digunakan dalam perhitungan adalah ekor/Rp
Uang yang dibelanjakan petani :
Rp/ekor (Yi) 50000/10 = 5000 5000/5 =1000
Ekor/Rp (1/Yi) 10/5000=0,002 5/5000=0,001
2
Σ Xi
Y = i= 1 = 0,002 + 0,001 =0,003 =0,0015 ekor/Rp
2 2 2
Jadi H = (1/ Y) = 1/ 0,0015 = 666,67 Rp/ekor
VI. UKURAN PENYEBARAN DATA
Ukuran pemusatan data atau nilai tengah data kurang dapat dipercaya apabila kita ingin membandingkan dua buah data atau lebih demikian juga jika kita ingin melakukan estimasi terhadap suatu populasi yang sedang kita pelajari karena nilai tengah sebagai indicator tunggal tidak dapat mengambarkan keadan datanya. Untuk itu kita pelajari ukuran penyebaran (dispersi) data sebagai berikut :
a. Rentang (range )
rentang (range) atau kisarn data adalah deviasi yang paling sederhana didefinisinkan sebagai perbedaan harga yang tertinggi denagn yang terendah dari sekumpulan data. Jadi rentang adalah data terbesar dikurangi data terkecil. Rentang memberikan gambaran seberapa jauh data itu memencar (merentang) tetapi tidak menunjukkan tentang keragaman datanya. Dua kumpulan data yang mempunyai rentang yang sama belum tentu keadaannya sama.
Contoh
Data kelompok I : 45, 50,50,55,60,70, dan 80
Range = 80-45 =35
Data kelompok II : 45,60,72,70,75,76 dan 80
Range = 80-45 =35
b. Rata-rata Simpangan Absolut
jarak setiap data (nilai pengamatan )denagn rata-ratanya (mean) disebut simpangan yang dirumuskan denagn
di =Yi - `Y.
bila data lebih besar dari rata-rata maka simpangan nya bersifat positif. Bila data lebih kecil dari rata-ratanya maka simpangannya lebih kecil dari rata-ratanya maka simpanganya bernilai negative dan bila sama dengan rata-ratanya maka simpangannya sama dengan nol. Jumlah semua simpangan sama dengsn nol,jadi dapat dirumuskan
jumlah simpangan = (Yi – Y) = nΣ di = 0
jadi karena jumlah simpanagn selalu sama dengan nol maka tidak memberikan informasi apa-apa,untuk itu diperbaiki denagn mencari nilai absolutnya sehingga dirumuskan :
│d│= (Yi – Y) =
Simpangan baku dan Ragam
Simpangan baku (standar deviasi) dan bentuk kuadratnya disebut ragam (varian) juga merukana deviasi yang juga memperhitungkan tiap data terhadap meanya. Ragam didefinisikan sebagai jumlah kuadrat simpanagn setiap data terhadap rata-ratanya dibagi denagn n-1 disini n adalh banyaknya data sedangkan simpangan baku (standar deviasi) didefinisikan sebagai akar positif dari ragam (variasi) dirumuskan sebagai :
disini S2 adalah ragam, (n-1) disebut derajat bebas (Yi - `Y)2 disebut
jumlah kuadrat (JK) jadi standar deviasinya dirumuskan menjadi S =SD=√S2
Untuk lebih praktis dalam perhitungan dapat diturunkan rumus definisinya sebagai berikut :
JK =(Yi - `Y.)2 = ( Yi2 -2Yi`Y + `Y.2)
= -
= -
= -
n
n (ΣYi )2
S2 = Σ Yi 2 -- i=1
i=1 n_____
n - 1
untuk data yang tersusun dalam distribusi frekuensi maka digunakan rumus
k
k (Σ f iYi )2
S2 = Σ f iYi 2 -- i=1
i=1 n_____
n - 1
Disini f I adalah frekuensi interval ke I Yi adalah nilai tengah interval ke I k adalah banyaknya interval dan n adalah banyaknya data ( n = Σ fi)
i=1
contoh berat badan (kg) 5 ekor sapi bali jantan yang dipotong di suatu RPH seperti table berikut :
| No | Berat (Yi) | (Yi - `Y.) | │Yi - `Y│ | (Yi - `Y)2 | Yi 2 |
| 1 2 3 4 5 | 200 220 210 215 219 | -12.8 7,2 -2,8 2,2 6,2 | 12,8 7,2 2,8 2,2 6,2 | 163,84 51,84 7,84 4,84 38.44 | 40000 48400 44100 46225 27961 |
| total | 1064 | 0,0 | 31,2 | 266,80 | 226686 |
| rataan | 212,8 | 0,0 | 6,24 | 13,36 | 45337,2 |
Rentang =220 -200 = 20
Rata-rata simpangan absolute = │Yi - `Y│=32,2
Jumlah Kuadrat (JK) = (Yi - `Y)2
= -
= 2686 – (1064/5)2
= 266860-0226419,2
= 266,8
Derajat bebas (DB) = 5 -1 =4
Ragam (S2) = JK =266,8 = 66,7
DB 4
Simpangan Baku ( S2 = D) = √S2 =√66,7 = 8,167
Untuk data yang berbentuk distribusi frekuensi table 1 maka
7
7 (Σ f iYi )2
S2 = Σ f iYi 2 -- i=1
i=1 100_____
100 – 1
= 240225 – (4850/100)2
100 -1
= 50,505
Jadi S = √ 50,505 =7,107
d. Koefisien Keragaman
koefisien keragaman (koefisien variasi ) adalah merupakan ukuran penyebaran nisbi (relative) dari suatu data dan dirumuskan :
KK = (S/`Y.) x 100%
disini S adalah simpangan baku dan Y adalah rata-rata
koefisien keragaman merupakan ukuran penyebaran data yang dapat menggambarkan ketelitian hasil penelitian yaitu semakinkecil nilainya maka penelitian itu semakin teliti koefisien keragaman biasanya dianggap baik jika ≤ 30%
SOAL
1. Data penelitian berat badan (kg) 50 ekor ayam broiler sebagai berikut ;
2,6 2,3 2,5 2,4 2,6 2,7 2,0 2,5 3,0 2,7
2,8 2,7 2,8 2,8 2,7 2,5 2,6 2,7 2,5 2,4
2,5 2,7 2,4 2,4 2,6 2,5 2,6 2,7 2,4 2,6
2,5 2,5 2,5 2,7 2,5 2,5 2,5 2,7 2,3 2,7
2,6 2,6 2,6 2,3 2,5 2,5 2,6 2,6 2,6 2,6
PERTANYAAN
- buat table distribusi frekuensi diatas
- Sajikan data diatas dalam bentuk gambar histogram,grafik batang,ogive dan frekuensi komulatif
- Hitunglah rata-rata hitung median persentil, modus, dan standar deviasi sebelum dan sesudah data disusun dalam bentuk distribusi frekuensi
3.Cari data minimal 50 sampel dan lakukan langkah-langkah seperti soal no 1
Postingan
